Die quadratische Ergänzung ist, laut Wikipedia und vieler Lehrbücher, ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt. Es kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden. Und jetzt kommst Du: Gehe diese Anleitung durch, und ich garantiere dir, du wirst die quadratische Ergänzung 100 Prozent geschnallt haben:
Quadratische Ergänzung - viel einfacher als Du je geglaubt hast
Wir nehmen uns das typische Problem vor: Du hast als Aufgabenstellung eine allgemeine quadratische Funktion nach dem Muster ax²+bx +c vor dir:
f(x)=9x²+27x+12
Wenn Du den Scheitelpunkt bestimmen sollst und noch keine Ahnung von Differenzialrechnung hast, dann geht nichts über die quadratisch Ergänzung.
Und so geht es: Jeder weiß ja, dass der erste Binom so aussieht: (a²+2*a*b+b²)=(a+b)²
Diese Formel musst Du verstehen und drauf haben, sonst kannst Du das mit dem Verstehen der quadratischen Ergänzung voll vergessen.
Wenn Du bis hierher gekommen bist und die binomischen Formeln wiederholt hast, ist der Rest ein Kinderspiel:
Der Schlüssel zur Lösung ist diese einfache Form, die Scheitelform:f(x)=a*(x-d)²+e
Wenn wir unsere Aufgabe von oben so umformen, dass die Gleichung der Schablone der Scheitelform folgt, wissen wir den Scheitelpunkt der Parabel: S(d|e). d ist also die x und e die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
Du nimmst dir nun die Aufgabe von oben:
f(x)=9x²+27x+12
Jetzt klammerst Du den Faktor vor dem x mit dem höchsten Exponenten aus. (Also die 9 vor dem x²)
Aber: lass das absolute Glied, die 12, mal außen vor. Uns interessiert nur alles was ein x hat!
So sieht s aus:
f(x)= 9x²+27x+12
f(x)=9(x²+3x)+12
Wir nähern uns damit schon der Scheitelpunktform etwas an. Vergleiche mal:
f(x)=9*(x²+3x)+12 mit
f(x)=a*(x - d)²+e
Eigentlich wären wir ja fast schon fertig. Aber das hoch 2 an der Klammer fehlt uns noch. Frage also:
Wie machen wir aus einem (x²+3x)ein (x+...)²? Lösung: mit der binomischen Formel.
Die alles entscheidende Frage lautet: Was setzt Du bei (x² + 3x + ...) für die drei Punkte ... ein, um eine schöne, 1. binomische Formel zu bekommen?
Genau, Du musst (3/2)² einsetzen. Da 3*3 halt 9 und 2*2=4 sind können wir es auch 9/4 nennen. Überprüfe selbst, ob das dem 1. Binom entspricht: (x² + 3x + 9/4). Stimmt's? Es ist der erste Binom, und die Kurzform davon wäre (x + 3/2)²
Das war's im Grunde. Wenn Du erstmal verstanden hast, dass man den Faktor vor dem x halbiert und dann quadriert, hast Du's. Wir müssen jetzt nur die Gleichung so umstellen, dass wir nicht einfach etwas hinzufügen.
f(x)=9*(x² + 3x ...........)+12 Achte jetzt nur auf die Klammer.
f(x)=9*(x² + 3x + 9/4 - 9/4)+12
Was ist denn da passiert? Naja, wir brauchen ja die 9/4, aber wir würden damit den Wert der Gleichung verändern. Deshalb ziehen wir sie gleich wieder ab. Im nächsten Schritt bringen wir die negativen 9/4 aus der Klammer raus und voilà:
f(x)=9*(x² + 3x + 9/4 ) - 9*9/4 +12 (jetzt nur noch vereinfachen...)
f(x)=9*(x + 3/2)² -8,25
Denke noch dran: Die Scheitelpunktform hat in der Klammer ein Minus:
a*(x - d)²+e
also: f(x)=9*(x - (- 3/2))² -8,25
Der Scheitelpunkt liegt also bei S(-3/2|-8,25)
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