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Exponentialgleichungen "a hoch x" und Logarithmus

Wie Wikipedia es schon sagt: "Logarithmen erlangten ihre historische Bedeutung durch den Zusammenhang

log(xy) = logx + logy,

der es erlaubt, eine Multiplikation durch eine Addition auszudrücken."

Wie kann man aber etwas kompliziertere Gleichungen nach x auflösen?

Hier ein Beispiel:

81^{x-1 / x+1} * 27^{x+1 / x-1} = 3^{7x*x+1 / x*x-1}

Oh nein! Was für eine komplexe Gleichung!
Jetzt ist KEINE Panik angesagt: Hier steht nämlich keine Summe!
Das bedeutet, wir dürfen den Log anwenden.
Vorher machen wir uns es aber noch einfach: Mal sehen, ob wir auf die
gleiche Basis kommen. Unser Vorschlag: Basis 3

3⁴=81

3³=27

und da (a hoch b)^c = a^b*c ist:

3^{4*(x-1 / x+1)} * 3^{3*(x+1 / x-1)} = 3^{7x*x+1 / x*x-1} | Logarithmieren beider Seiten mit log zur Bais 3  (log₃)

log₃ (3^{4*(x-1 / x+1)} ) + log₃ ( 3^{3*(x+1 / x-1)} ) = log₃ (3^{7x*x+1 / x*x-1})

Wir erinnern uns: log (a^b) = b* log (a)

4 * (x-1 / x+1) * log₃ (3 ) + 3 * (x+1 / x-1) * log₃ ( 3 ) = (7x*x+1 / x*x-1) * log₃ (3)

...und ausserdem ist der Logarithmus zur Basis 3 VON 3 gleich eins. Denn 3 hoch 1 = 3.

4 * (x-1 / x+1) * 1 + 3 * (x+1 / x-1) * 1 = (7x*x+1 / x*x-1) * 1
Jetzt mal weg mit den neutralen Einsen...

4 * (x-1 / x+1)  + 3 * (x+1 / x-1)  = 7x*x+1 / x*x-1
Die Vier und die Drei noch hineinmultiplizieren:

4x-4 / x+1  + 3x+3 / x-1  = 7x*x+1 / x²-1

Wir haben jetzt noch hässliche Nenner wie x+1, x-1 und x²-1

Wir erinnern uns an die  dritte Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

Die aufgeführten Nenner entsprechen der 3. binomischen Formel!
Wir können gleich munter kürzen, wenn wir die ganze Gleichung mal (x²-1) nehmen.

4x-4 / x+1  + 3x+3 / x-1  = 7x*x+1 / x²-1 | * (x²-1)

(4x-4) * (x²-1) / x+1  + (3x+3) * (x²-1) / x-1  = (7x²+1) * (x²-1) / (x²-1)

Auf der rechten Seite der Gleichung fällt direkt der Nenner weg. Es bleibt nur (7x²+1) übrig!

(4x-4) * (x²-1) / x+1  + (3x+3) * (x²-1) / x-1  = (7x²+1)

...was ist mit dem Rest? Gemäß der 3. binom. Formel ist (x²-1) / x + 1 = x - 1 Warum?
..Weil ja auch (x+1) * (x-1) = (x²-1²) ist. Ob wir jetzt 1² oder einfach nur 1 schreiben ist egal. :)
Also:

(4x-4) * (x-1)  + (3x+3) * (x²-1) / x-1  = (7x²+1)

...und genauso ist gemäß der 3. binom. Formel ist (x²-1) / x - 1 = x + 1 Warum?
..Weil ja auch (x+1) * (x-1) = (x²-1²) ist.
Also:
(4x - 4) * (x - 1)  + (3x + 3) * (x + 1)  = (7x²+1)

Wir multiplizieren aus und erhalten:

4x² -4x -4x +4+3x²+3x +3x +3= 7x² + 1
Ein paar Vereinfachungen später..

-8x+6x+6 = 0

6=2x|:2
x=3

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Hier ein weiteres Beispiel:

^ bedeutet hier "hoch"

Aufgabenstellung:  (5^x-3)^x+3 = 625^2x*x / 390625^-6x+2

Frage: Was kann man für x einsetzen?
Schritt eins:
Wir vereinfachen erst mal gnadenlos:
Auf der linken Seite müssen wir (x-3)*(x+3) rechnen, denn (a hoch b)^c = a^b*c

(x-3)*(x+3) = x² - 9

na gut:

5^{x^2 - 9} = 625^2x*x / 390625^-6x+2

Die rechte Seite ist immer noch hässlich. Uns fällt an dieser Stelle durch Ausprobieren ein:
5 hoch 4 ist 625
und
5 hoch 8 ist 390625

Also gut:

5^{x^2 - 9} = 5^4*(2x*x) / 5^8*(-6x+2)

Da 4 mal 2 = 8 und 8 mal -6 = - 48 ist ...

5^{x^2 - 9} = 5^8x*x / 5^-48x+16

Jetzt weg mit dem Nenner 5^-48x+16, denn damit kann je keiner was anfangen!

Da 1 / a^b = 1 * a^(-1)*b ist:

5^{x^2 - 9} = 5^8x*x * 5^{+48x-16
Gleiche Basis: Wir können die rechte Seite vereinfachen:}

5^{x^2 - 9} = 5^8x*x+48x-16

Wir logarithmieren jetzt mit log₅

5^{x^2 - 9} = 5^8x*x+48x-16 | log₅

log₅ (5^{x^2 - 9} ) = log₅ (5^8x*x+48x-16)

log₅ (5^{x^2 - 9} ) = log₅ (5^8x*x+48x-16)

(x^2 - 9) * log₅ (5 ) = (8x*x+48x-16) * log₅ (5)

5 hoch was ist 5? Genau! 5 hoch 1 ist 5!
log₅ (5) = 1

(x² - 9) * 1 = (8x*x+48x-16) * 1

Weg mit der neutralen Eins:

x² - 9 = 8x*x+48x-16


Kurze Erklärung:
Was wir hier gesehen haben, nennt man Exponentenvergleich:
Ist die Basis in einer Gleichung gleich (hier die Fünf),
dann kann man einfach mit den Exponenten weiter rechnen.
Das geht nur, wenn keine Summen vorhanden waren.
5^{x^2 - 9} = 5^8x*x+48x-16
führt also zu:
x² - 9 = 8x*x+48x-16

Null ist dann = x² + 48/7 -1
Die PQ Formel führt dann zu:

7^25-x*x = 7^8x*x * 7^16+80x

7^25-x*x = 7^8x*x+16+80x | log₇

Exponentenvergleich:

25-x² = 8x² + 16 + 80x

0 = 9x² +80x -9